[01. Pairs Trading] 003. 페어트레이딩 모형 – 이변량 페어트레이딩 모형

이변량 페어트레이딩 모형의 식은 다음과 같다.

 

1) OLS(Ordinary Least Squares) 방식

 

최소자승법(OLS)은 회귀분석에서 회귀방정식의 계수를 구할 때 흔히 사용하는 방법이다. 이는 독립변수의 값(X)에 대응하는 실제 종속변수의 값(Y)과 회귀방정식에서 얻어진 예측된 종속변수의 값(Ŷ)과의 차이의 제곱이 최소가 되는 회귀계수(α, β)를 구하는 방법이다.

 

[그림 1.3] OLS(Ordinary Least Squares) 방식

 

추정된 회귀계수를 구하는 식은 다음과 같다.

 

 

 

여기서 추정된 β의 값이 우리가 원하는 헤지비율이다. 그리고 추정된 α의 값은 채권을 의미한다. 이제 추정된 헤지비율로 스프레드를 계산한 후 ADF Test(단위근 검정)를 실시하여 스프레드의 정상성을 확인한다. 스프레드의 정상성이 확인되면 X주식을 β주 만큼 사고 Y주식을 1주 매도, 그리고 채권을 추정된 α의 양만큼 매수하면 된다. 이때, 투자기간을 장기로 가져가지 않는 경우에는 채권의 비중은 실무적으로 무시해도 된다.

 

그리고 OLS 방식의 문제점은 다음과 같다. 독립변수와 종속변수를 바꾸면 다음과 같은 식이 성립한다.

 

위에서 각각 추정한 헤지비율은 역수관계를 만족해야한다. 하지만 OLS 방식은 다음과 같이 헤지비율의 역수관계가 성립되지 않는다.

 

하나의 페어 당 헤지비율이 2개가 나오는 것은 혼란을 초래할 수 있다. 이는 OLS 방식이 변수 하나의 변동성만을 설명하기 때문이다.

 

[그림 1.4] OLS 방식의 헤지비율 불일치

 

2) TLS(Total Least Squares) 방식

 

완전최소자승법(TLS)은 독립변수의 값(X)에 대응하는 실제 종속변수의 값(Y)과 회귀선과의 직교거리의 제곱이 최소가 되는 회귀계수(α, β)를 구하는 방법이다. TLS 방식으로 헤지비율을 추정하면 헤지비율의 역수관계가 성립한다.

 

[그림 1.5] TLS(Total Least Squares) 방식

 

추정된 회귀계수를 구하는 식은 다음과 같다.

 

[그림 1.6] 헤지비율 비교(OLS vs TLS)

 

3) LTA(Least Triangles Approach) 방식

 

독립변수의 값(X)에 대응하는 실제 종속변수의 값(Y)과 회귀선과의 삼각형 면적이 최소가 되는 회귀계수(α, β)를 구하는 방법이다. LTA 방식으로 헤지비율을 추정하면 헤지비율의 역수관계가 성립한다.  

 

[그림 1.7] LTA(Least Triangles Approach) 방식

 

추정된 회귀계수를 구하는 식은 다음과 같다.

 

[그림 1.8] 헤지비율 비교(OLS vs TLS vs LTA)

 

4) 스프레드의 정상성 검정

 

이변량 페어트레이딩 모형으로 추정한 헤지비율로 계산한 스프레드의 정상성은 일반적으로 ADF(Augmented Dickey-Fuller) Test로 검정한다.

 

γ가 0이면 스프레드는 정상성을 보이는 것으로 해석한다.