[03. 옵션] 001. 옵션의 가격 및 그릭스

옵션의 가격을 계산하는 방법은 선물의 가격에 비해 훨씬 복잡하다. 오죽하면 옵션가격결정모형인 블랙숄즈 모형(Black–Scholes model)으로 마이런 숄즈(Myron S. Scholes)가 1997년에 노벨경제학상을 받았겠는가. 피셔 블랙(Fischer Black)은 1995년에 사망하여 상을 받지 못했다. 옵션을 거래하기 위해선 시장가격이 없기 때문에 얼마에 사고 팔아야 합리적인지 아무도 알지 못했다. 미래의 주가변동을 어떻게 예측해야하는지 모르기 때문이다. 이런 옵션의 가격을 수식으로 제시한 블랙숄즈 모형이 현재까지 사용되고 있는 것을 보면 노벨경제학상은 당연한 것이다.

 

[그림 3.1] 콜옵션 매수, 풋옵션 매수의 Payoff

 

우선 파생상품의 가격을 계산하기 위해서는 Monte Carlo Simulation에 대해 알아야 한다. Monte Carlo Simulation은 컴퓨터의 도움으로 확률변수의 장래를 예측하는 수치적 접근방법이다. 특정 변수의 미래를 예측하기 위해서는 이 변수와 이 변수에 영향을 주는 변수들과의 관계를 설정하는 모형이 필요하다. 이 때 변수들간의 관계가 확실하여 예측치를 정확하게 찾을 수 있는 모형을 확정모형(deterministic model)이라 하고, 결과를 정확하게 예측할 수 없는 모형을 확률모형(stochastic model)이라 한다.

 

일반적으로 확정모형에서는 분석적 해(analytical solution)를 찾는 것이 가능하다. 즉 방정식으로 모형을 세우고 수학적으로 이를 풀어 변수에 대한 해를 찾는 것이다. 그러나 확률모형에 대해서는 분석적인 방법으로 해를 찾는 것이 불가능한 경우가 많다. 이러한 경우에는 수치적(numerical)인 방법으로 해를 찾아야 한다. 수치적으로 해를 찾기 위해서는 확률모형의 모수(parameter)나 변수에 대해 반복적으로 여러 수치를 시도하여 확률변수의 분포를 얻어내야 한다. 이 때 이 분포를 시뮬레이션 하기 위해 반복적으로 이용하는 수치를 일련의 난수(random number)로부터 얻을 때 이를 Monte Carlo Simulation이라 한다.

 

미래의 주가를 예측하기 위해선 모형을 사용해야 한다. 주가의 확률과정을 모형화할 때 가장 널리 이용되는 모형이 Geometric Brownian Motion이다. 이는 주가가 로그정규분포(lognormal distribution)를 따른다고 할 경우의 확률모형이기도 하다. 다르게 말하면 주가의 수익률은 정규분포(normal distribution)를 따른다는 가정이 들어간 것이다. 주가 S가 Geometric Brownian Motion을 따른다면 주가의 확률모형은 다음과 같다.

 

 

여기서 S는 주가 μ는 평균, σ는 표준편차, t는 시점, W는 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포 확률변수이다. 위 식을 이용하여 주가의 움직임을 시뮬레이션하면 다음과 같은 모습이다.

 

[그림 3.2] 몬테카를로 시뮬레이션

 

이제 미래의 주가 움직임을 구했으니 각 Path마다 옵션의 구조에 따른 만기 Payoff를 구할 수 있다. 그리고 각 Path의 Payoff 평균을 현재가치로 할인하면 옵션의 가격이 된다.

 

하지만 이 방법은 시간도 많이 걸리고 시뮬레이션을 할 때마다 오차가 조금씩 발생한다. 콜옵션과 풋옵션에 대한 가격의 확률모형을 확정모형으로 바꾸어 준 것이 바로 블랙숄즈 모형이다.

 

블랙숄즈 모형으로 콜옵션과 풋옵션의 가치를 계산하는 식은 다음과 같다. 배당을 반영한 모형이다.

 

 

여기서 S는 주가, X(또는 K라고 표현)는 행사가, r은 무위험이자율, q는 배당수익률, t는 잔존만기를 뜻한다. 굉장히 어려운 공식이다. 이 공식을 유도하는 것은 굉장히 어렵지만 완성된 공식을 트레이딩에 활용하는 것은 비교적 쉽다. 트레이딩에 활용하기 위해서는 그릭스(Greeks)라는 것을 알아야 한다.

 

그릭스는 옵션 가격결정 함수의 변수 중 하나를 가리키는 문자이다. 옵션의 가격 결정함수는 S, X, r, t, σ, q라는 모수와 변수들로 이루어진 함수이다. 옵션의 가격을 이 모수들과 변수들로 미분한 것을 그릭스라고 한다. Greeks라 불리 우는 이유는 이 미분함수들이 △, Γ, Θ, ν, ρ의 그리스 문자로 이루어져 있기 때문이다.

 

1) Delta(△): 델타는 기초자산의 가격 변화에 대한 파생상품의 변화로 정의된다.

 

2) Gamma(Γ): 감마는 기초자산의 가격변화에 대한 옵션 델타의 변화이다.

 

3) Theta(Θ): 세타는 시간 t가 경과함에 따라 옵션의 가격이 어떻게 변화하는지 나타내는 척도이다.

 

4) Vega(ν): 변동성 σ가 변화할 때 옵션의 가격이 어떻게 변화하는지 보는 척도이다.

 

5) Rho(ρ): 무위험자산의 이자율 r이 변화할 때 옵션의 가격이 어떻게 변화하는지 나타내는 척도이다.

 

그릭스를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

 

 

흔히 콜옵션과 풋옵션은 금융시장에서 기본적인 옵션으로 바닐라옵션으로 불린다. 그리고 만기에만 권리를 행사할 수 있는 옵션을 유러피안 옵션이라고 하고 어느 때나 행사할 수 있는 옵션을 아메리칸 옵션이라고 한다. 우리가 흔히 알고 있고 여기서 언급하고 있는 옵션은 유러피안 옵션이다. 이를 트레이딩에 활용하는 방법은 추후에 다루어 보기로 한다.

 

그리고 옵션의 Moneyness에 대해 알아보자. 유러피안 콜옵션의 경우 주가가 행사가보다 높다면 옵션이 행사될 확률이 높다. 따라서 ITM(In The Money) 옵션이라고 표현하고 주가가 행사가 보다 낮다면 옵션이 행사될 확률이 낮으므로 OTM(Out of The Money) 옵션이라고 한다. 주가와 행사가가 같다면 ATM(At The Money) 옵션이라고 한다. 풋옵션일 경우에는 반대로 표현된다.